1、動態博弈論模型如何建立
一、 博弈中最優策略的產生
艾克斯羅德（Robert Axelrod）在開始研究合作之前，設定了兩個前提：一、每個人都是自私的；二、沒有權威干預個人決策。也就是說，個人可以完全按照自己利益最大化的企圖進行決策。在此前提下，合作要研究的問題是：第一、人為什麼要合作；第二、人什麼時候是合作的，什麼時候又是不合作的；第三、如何使別人與你合作。
社會實踐中有很多合作的問題。比如國家之間的關稅報復，對他國產品提高關稅有利於保護本國的經濟，但是國家之間互提關稅，產品價格就提高了，喪失了競爭力，損害了國際貿易的互補優勢。在對策中，由於雙方各自追求自己利益的最大化，導致了群體利益的損害。對策論以著名的囚犯困境來描述這個問題。
A和B各表示一個人，他們的選擇是完全無差異的。選擇C代表合作，選擇D代表不合作。如果AB都選擇C合作，則兩人各得3分；如果一方選C，一方選D，則選C的得零分，選D的得5分；如果AB都選D，雙方各得1分。
顯然，對群體來說最好的結果是雙方都選C，各得3分，共得6分。如果一方選C，一方選D，總體得5分。如果兩人都選D，總體得2分。
對策學界用這個矩陣來描述個體理性與群體理性的沖突：每個人在追求個體利益最大化時，就使群體利益受損，這就是囚徒困境。在矩陣中，對於A來說，當對方選C，他選D得5分，選C只得3分；當對方選D，他選D得1分，選C得零分。因此，無論對方選C或D，對A來說，選D都得分最多。這是A單方面的優超策略。而當兩個優超策略相遇，即A，B都選D時，結果是各得1分。這個結果在矩陣中並非最優。困境就在於，每個人採取各自的優超策略時，得出的解是穩定的，但不是帕累托最優的，這個結果體現了個體理性與群體理性的矛盾。在數學上，這個一次性決策的矩陣沒有最優解。
如果博弈進行多次，只要對策者知道博弈次數，他們在最後一次肯定採取互相背叛的策略。既然如此，前面的每一次也就沒有合作的必要，因此，在次數已知的多次博弈中，對策者沒有一次會合作。
如果博弈在多人間進行，而且次數未知，對策者就會意識到，當持續地採取合作並達成默契時，對策者就能持續地各得3分，但如果持續地不合作的話，每個人就永遠得1分。這樣，合作的動機就顯現出來。多次對局下，未來的收益應比現在的收益多一個折現率W，W越大，表示未來的收益越重要。在多人對策持續進行下去，且W比較大，即未來充分重要時，最優的策略是與別人採取的策略有關的。假設某人的策略是，第一次合作，以後只要對方不合作一次，他就永不合作。對這種對策者，當然合作下去是上策。假如有的人不管對方採取什麼策略，他總是合作，那麼總是對他採取不合作的策略得分最多。對於總是不合作的人，也只能採取不合作的策略。
艾克斯羅德做了一個實驗，邀請多人來參加游戲，得分規則與前面的矩陣相同，什麼時候結束游戲是未知的。他要求每個參賽者把追求得分最多的策略寫成計算機程序，然後用單循環賽的方式將參賽程序兩兩博弈，以找出什麼樣的策略得分最高。
第一輪游戲有14個程序參加，再加上艾克斯羅德自己的一個隨機程序(即以50%的概率選取合作或不合作)，運轉了300次。結果得分最高的程序是加拿大學者羅伯布寫的"一報還一報"(tit for tat)。這個程序的特點是，第一次對局採用合作的策略，以後每一步都跟隨對方上一步的策略，你上一次合作，我這一次就合作，你上一次不合作，我這一次就不合作。艾克斯羅德還發現，得分排在前面的程序有三個特點：第一，從不首先背叛，即"善良的"；第二，對於對方的背叛行為一定要報復，不能總是合作，即" 可激怒的"；第三，不能人家一次背叛，你就沒完沒了的報復，以後人家只要改為合作，你也要合作，即"寬容性"。
為了進一步驗證上述結論，艾氏決定邀請更多的人再做一次游戲，並把第一次的結果公開發表。第二次徵集到了62個程序，加上他自己的隨機程序，又進行了一次競賽。結果，第一名的仍是"一報還一報"。艾氏總結這次游戲的結論是：第一，"一報還一報"仍是最優策略。第二，前面提到的三個特點仍然有效，因為63人中的前15名里，只有第8名的哈靈頓程序是"不善良的"，後15名中，只有1個總是合作的是"善良的"。可激怒性和寬容性也得到了證明。此外，好的策略還必須具有的一個特點是"清晰性"，能讓對方在三、五步對局內辨識出來，太復雜的對策不見得好。"一報還一報"就有很好的清晰性，讓對方很快發現規律，從而不得不採取合作的態度。
二、 合作的進行過程及規律
"一報還一報"的策略在靜態的群體中得到了很好的分數，那麼，在一個動態的進化的群體中，這種合作者能否產生、發展、生存下去呢？群體是會向合作的方向進化，還是向不合作的方向進化？如果大家開始都不合作，能否在進化過程中產生合作？為了回答這些疑問，艾氏用生態學的原理來分析合作的進化過程。
假設對策者所組成的策略群體是一代一代進化下去的，進化的規則包括：一，試錯。人們在對待周圍環境時，起初不知道該怎麼做，於是就試試這個，試試那個，哪個結果好就照哪個去做。第二，遺傳。一個人如果合作性好，他的後代的合作基因就多。第三，學習。比賽過程就是對策者相互學習的過程，"一報還一報"的策略好，有的人就願意學。按這樣的思路，艾氏設計了一個實驗，假設63個對策者中，誰在第一輪中的得分高，他在第二輪的群體中所佔比例就越高，而且是他的得分的正函數。這樣，群體的結構就會在進化過程中改變，由此可以看出群體是向什麼方向進化的。
實驗結果很有趣。"一報還一報"原來在群體中佔1/63，經過1000代的進化，結構穩定下來時，它佔了24%。另外，有一些程序在進化過程中消失了。其中有一個值得研究的程序，即原來前15名中唯一的那個"不善良的"哈靈頓程序，它的對策方案是，首先合作，當發現對方一直在合作，它就突然來個不合作，如果對方立刻報復它，它就恢復合作，如果對方仍然合作，它就繼續背叛。這個程序一開始發展很快，但等到除了"一報還一報"之外的其它程序開始消失時，它就開始下降了。因此，以合作系數來測量，群體是越來越合作的。
進化實驗揭示了一個哲理：一個策略的成功應該以對方的成功為基礎。"一報還一報"在兩個人對策時，得分不可能超過對方，最多打個平手，但它的總分最高。它賴以生存的基礎是很牢固的，因為它讓對方得到了高分。哈靈頓程序就不是這樣，它得到高分時，對方必然得到低分。它的成功是建立在別人失敗的基礎上的，而失敗者總是要被淘汰的，當失敗者被淘汰之後，這個好占別人便宜的成功者也要被淘汰。
那麼，在一個極端自私者所組成的不合作者的群體中，"一報還一報"能否生存呢？艾氏發現，在得分矩陣和未來的折現系數一定的情況下，可以算出，只要群體的 5%或更多成員是"一報還一報"的，這些合作者就能生存，而且，只要他們的得分超過群體的總平均分，這個合作的群體就會越來越大，最後蔓延到整個群體。反之，無論不合作者在一個合作者佔多數的群體中有多大比例，不合作者都是不可能自下而上的。這就說明，社會向合作進化的棘輪是不可逆轉的，群體的合作性越來越大。艾克斯羅德正是以這樣一個鼓舞人心的結論，突破了"囚犯困境"的研究困境。
在研究中發現，合作的必要條件是：第一、關系要持續，一次性的或有限次的博弈中，對策者是沒有合作動機的；第二、對對方的行為要做出回報，一個永遠合作的對策者是不會有人跟他合作的。
那麼，如何提高合作性呢？首先，要建立持久的關系，即使是愛情也需要建立婚姻契約以維持雙方的合作。（火車站的小販為什麼要騙人？為什麼工作中要形成小組制度？換防的時候一方總是要小小地進攻一下的，在中越前線就是這樣）第二、要增強識別對方行動的能力，如果不清楚對方是合作還是不合作，就沒法回報他了。第三、要維持聲譽，說要報復就一定要做到，人家才知道你是不好欺負的，才不敢不與你合作。第四、能夠分步完成的對局不要一次完成，以維持長久關系，比如，貿易、談判都要分步進行，以促使對方採取合作態度。第五、不要嫉妒人家的成功，"一報還一報"正是這樣的典範。第六、不要首先背叛，以免擔上罪魁禍首的道德壓力。第七、不僅對背叛要回報，對合作也要作出回報。第八、不要耍小聰明，占人家便宜。
（打橋牌和打麻將的區別）
艾克斯羅德在《合作的進化》一書結尾提出幾個結論。第一、友誼不是合作的必要條件，即使是敵人，只要滿足了關系持續，互相回報的條件，也有可能合作。比如，第一次世界大戰期間，德英兩軍在戰壕戰中遇上了三個月的雨季，雙方在這三個月中達成了默契，互相不攻擊對方的糧車給養，到大反攻時再你死我活地打。這個例子說明，友誼不是合作的前提。第二、預見性也不是合作的前提，艾氏舉出生物界低等動物、植物之間合作的例子來說明這一點。但是，當有預見性的人類了解了合作的規律之後，合作進化的過程就會加快。這時，預見性是有用的，學習也是有用的。
當游戲中考慮到隨機干擾，即對策者由於誤會而開始互相背叛的情形時，吳堅忠博士經研究發現，以修正的"一報還一報"，即以一定的概率不報復對方的背叛，和 "悔過的一報還一報"，即以一定的概率主動停止背叛。群體所有成員處理隨機環境的能力越強，"悔過的一報還一報"效果越好，"寬大的一報還一報"效果越差。
三、 艾克斯羅德的貢獻與局限性
艾克斯羅德通過數學化和計算機化的方法研究如何突破囚徒困境，達成合作，將這項研究帶到了一個全新境界，他在數學上的證明無疑是十分雄辯和令人信服的，而且，他在計算機模擬中得出的一些結論是非常驚人的發現，比如，總分最高的人在每次博弈中都沒有拿到最高分。（劉邦和項羽的戰爭）
艾氏所發現的"一報還一報"策略，從社會學的角度可以看作是一種"互惠式利他"，這種行為的動機是個人私利，但它的結果是雙方獲利，並通過互惠式利他有可能覆蓋了范圍最廣的社會生活，人們通過送禮及回報，形成了一種社會生活的秩序，這種秩序即使在多年隔絕，語言不通的人群之間也是最易理解的東西。比如，哥倫布登上美洲大陸時，與印地安人最初的交往就開始於互贈禮物。有些看似純粹的利他行為，比如無償損贈，也通過某些間接方式，比如社會聲譽的獲得，得到了回報。研究這種行為，將對我們理解社會生活有很重要的意義。
囚徒困境擴展為多人博弈時，就體現了一個更廣泛的問題——"社會悖論"，或"資源悖論"。人類共有的資源是有限的，當每個人都試圖從有限的資源中多拿一點兒時，就產生了局部利益與整體利益的沖突。人口問題、資源危機、交通阻塞，都可以在社會悖論中得以解釋，在這些問題中，關鍵是通過研究，制定游戲規則來控制每個人的行為。
艾克斯羅德的一些結論在中國古典文化道德傳統中可以很容易地找到對應，"投桃報李"、"人不犯我，我不犯人"都體現了"tit for tat"的思想。但這些東西並不是最優的，因為"一報還一報"在充滿了隨機性的現實社會生活里是有缺陷的。對此，孔子在幾千年前就說出了"以德報德，以直報怨"這樣精彩的修正策略，所謂"直"，就是公正，以公正來回報對方的背叛，是一種修正了的"一報還一報"，修正的是報復的程度，本來會讓你損失5分，現在只讓你損失3分，從而以一種公正審判來結束代代相續的報復，形成文明。
但是，艾氏對博弈者的一些假設和結論使其研究不可避免地與現實脫節。首先，《合作的進化》一書暗含著一個重要的假定，即，個體之間的博弈是完全無差異的。現實的博弈中，對策者之間絕對的平等是不可能達到的。一方面，對策者在實際的實力上有差異，雙方互相背叛時，可能不是各得1分，而是強者得5分，弱者得0 分，這樣，弱者的報復就毫無意義。另一方面，即使對局雙方確實旗鼓相當，但某一方可能懷有賭徒心理，認定自己更強大，採取背叛的策略能佔便宜。艾氏的得分矩陣忽視了這種情形，而這種賭徒心理恰恰在社會上大量引發了零和博弈。因此，程序還可以在此基礎上進一步改進。
其次，艾氏認為合作不需預期和信任。這是他受到質疑頗多之處。對策者根據對方前面的戰術來制定自己下面的戰術，合作要求個體能夠識別那些曾經相遇過的個體並且記得與其相互作用的歷史，以便作出反應，這些都暗含著"預期"行為。在應付復雜的對策環境時，信任可能是對局雙方達成合作的必不可少的環節。但是，預期與信任如何在計算機的程序中體現出來，仍是需要研究的。
最後，重復博弈在現實中是很難完全實現的。一次性博弈的大量存在，引發了很多不合作的行為，而且，對策的一方在遭到對方背叛之後，往往沒有機會也沒有還手之力去進行報復。比如，資本積累階段的違約行為，國家之間的核威懾。在這些情況下，社會要使交易能夠進行，並且防止不合作行為，必須通過法制手段，以法律的懲罰代替個人之間的"一報還一報"，規范社會行為。這是艾克斯羅德的研究對制度學派的一個重要啟發。
2、什麼是理性超加對策？
一、 博弈中最優策略的產生
艾克斯羅德（Robert Axelrod）在開始研究合作之前，設定了兩個前提：一、每個人都是自私的；二、沒有權威干預個人決策。也就是說，個人可以完全按照自己利益最大化的企圖進行決策。在此前提下，合作要研究的問題是：第一、人為什麼要合作；第二、人什麼時候是合作的，什麼時候又是不合作的；第三、如何使別人與你合作。
社會實踐中有很多合作的問題。比如國家之間的關稅報復，對他國產品提高關稅有利於保護本國的經濟，但是國家之間互提關稅，產品價格就提高了，喪失了競爭力，損害了國際貿易的互補優勢。在對策中，由於雙方各自追求自己利益的最大化，導致了群體利益的損害。對策論以著名的囚犯困境來描述這個問題。
A和B各表示一個人，他們的選擇是完全無差異的。選擇C代表合作，選擇D代表不合作。如果AB都選擇C合作，則兩人各得3分；如果一方選C，一方選D，則選C的得零分，選D的得5分；如果AB都選D，雙方各得1分。
顯然，對群體來說最好的結果是雙方都選C，各得3分，共得6分。如果一方選C，一方選D，總體得5分。如果兩人都選D，總體得2分。
對策學界用這個矩陣來描述個體理性與群體理性的沖突：每個人在追求個體利益最大化時，就使群體利益受損，這就是囚徒困境。在矩陣中，對於A來說，當對方選C，他選D得5分，選C只得3分；當對方選D，他選D得1分，選C得零分。因此，無論對方選C或D，對A來說，選D都得分最多。這是A單方面的優超策略。而當兩個優超策略相遇，即A，B都選D時，結果是各得1分。這個結果在矩陣中並非最優。困境就在於，每個人採取各自的優超策略時，得出的解是穩定的，但不是帕累托最優的，這個結果體現了個體理性與群體理性的矛盾。在數學上，這個一次性決策的矩陣沒有最優解。
如果博弈進行多次，只要對策者知道博弈次數，他們在最後一次肯定採取互相背叛的策略。既然如此，前面的每一次也就沒有合作的必要，因此，在次數已知的多次博弈中，對策者沒有一次會合作。
如果博弈在多人間進行，而且次數未知，對策者就會意識到，當持續地採取合作並達成默契時，對策者就能持續地各得3分，但如果持續地不合作的話，每個人就永遠得1分。這樣，合作的動機就顯現出來。多次對局下，未來的收益應比現在的收益多一個折現率W，W越大，表示未來的收益越重要。在多人對策持續進行下去，且W比較大，即未來充分重要時，最優的策略是與別人採取的策略有關的。假設某人的策略是，第一次合作，以後只要對方不合作一次，他就永不合作。對這種對策者，當然合作下去是上策。假如有的人不管對方採取什麼策略，他總是合作，那麼總是對他採取不合作的策略得分最多。對於總是不合作的人，也只能採取不合作的策略。
艾克斯羅德做了一個實驗，邀請多人來參加游戲，得分規則與前面的矩陣相同，什麼時候結束游戲是未知的。他要求每個參賽者把追求得分最多的策略寫成計算機程序，然後用單循環賽的方式將參賽程序兩兩博弈，以找出什麼樣的策略得分最高。
第一輪游戲有14個程序參加，再加上艾克斯羅德自己的一個隨機程序(即以50%的概率選取合作或不合作)，運轉了300次。結果得分最高的程序是加拿大學者羅伯布寫的"一報還一報"(tit for tat)。這個程序的特點是，第一次對局採用合作的策略，以後每一步都跟隨對方上一步的策略，你上一次合作，我這一次就合作，你上一次不合作，我這一次就不合作。艾克斯羅德還發現，得分排在前面的程序有三個特點：第一，從不首先背叛，即"善良的"；第二，對於對方的背叛行為一定要報復，不能總是合作，即" 可激怒的"；第三，不能人家一次背叛，你就沒完沒了的報復，以後人家只要改為合作，你也要合作，即"寬容性"。
為了進一步驗證上述結論，艾氏決定邀請更多的人再做一次游戲，並把第一次的結果公開發表。第二次徵集到了62個程序，加上他自己的隨機程序，又進行了一次競賽。結果，第一名的仍是"一報還一報"。艾氏總結這次游戲的結論是：第一，"一報還一報"仍是最優策略。第二，前面提到的三個特點仍然有效，因為63人中的前15名里，只有第8名的哈靈頓程序是"不善良的"，後15名中，只有1個總是合作的是"善良的"。可激怒性和寬容性也得到了證明。此外，好的策略還必須具有的一個特點是"清晰性"，能讓對方在三、五步對局內辨識出來，太復雜的對策不見得好。"一報還一報"就有很好的清晰性，讓對方很快發現規律，從而不得不採取合作的態度。
二、 合作的進行過程及規律
"一報還一報"的策略在靜態的群體中得到了很好的分數，那麼，在一個動態的進化的群體中，這種合作者能否產生、發展、生存下去呢？群體是會向合作的方向進化，還是向不合作的方向進化？如果大家開始都不合作，能否在進化過程中產生合作？為了回答這些疑問，艾氏用生態學的原理來分析合作的進化過程。
假設對策者所組成的策略群體是一代一代進化下去的，進化的規則包括：一，試錯。人們在對待周圍環境時，起初不知道該怎麼做，於是就試試這個，試試那個，哪個結果好就照哪個去做。第二，遺傳。一個人如果合作性好，他的後代的合作基因就多。第三，學習。比賽過程就是對策者相互學習的過程，"一報還一報"的策略好，有的人就願意學。按這樣的思路，艾氏設計了一個實驗，假設63個對策者中，誰在第一輪中的得分高，他在第二輪的群體中所佔比例就越高，而且是他的得分的正函數。這樣，群體的結構就會在進化過程中改變，由此可以看出群體是向什麼方向進化的。
實驗結果很有趣。"一報還一報"原來在群體中佔1/63，經過1000代的進化，結構穩定下來時，它佔了24%。另外，有一些程序在進化過程中消失了。其中有一個值得研究的程序，即原來前15名中唯一的那個"不善良的"哈靈頓程序，它的對策方案是，首先合作，當發現對方一直在合作，它就突然來個不合作，如果對方立刻報復它，它就恢復合作，如果對方仍然合作，它就繼續背叛。這個程序一開始發展很快，但等到除了"一報還一報"之外的其它程序開始消失時，它就開始下降了。因此，以合作系數來測量，群體是越來越合作的。
進化實驗揭示了一個哲理：一個策略的成功應該以對方的成功為基礎。"一報還一報"在兩個人對策時，得分不可能超過對方，最多打個平手，但它的總分最高。它賴以生存的基礎是很牢固的，因為它讓對方得到了高分。哈靈頓程序就不是這樣，它得到高分時，對方必然得到低分。它的成功是建立在別人失敗的基礎上的，而失敗者總是要被淘汰的，當失敗者被淘汰之後，這個好占別人便宜的成功者也要被淘汰。
那麼，在一個極端自私者所組成的不合作者的群體中，"一報還一報"能否生存呢？艾氏發現，在得分矩陣和未來的折現系數一定的情況下，可以算出，只要群體的 5%或更多成員是"一報還一報"的，這些合作者就能生存，而且，只要他們的得分超過群體的總平均分，這個合作的群體就會越來越大，最後蔓延到整個群體。反之，無論不合作者在一個合作者佔多數的群體中有多大比例，不合作者都是不可能自下而上的。這就說明，社會向合作進化的棘輪是不可逆轉的，群體的合作性越來越大。艾克斯羅德正是以這樣一個鼓舞人心的結論，突破了"囚犯困境"的研究困境。
在研究中發現，合作的必要條件是：第一、關系要持續，一次性的或有限次的博弈中，對策者是沒有合作動機的；第二、對對方的行為要做出回報，一個永遠合作的對策者是不會有人跟他合作的。
那麼，如何提高合作性呢？首先，要建立持久的關系，即使是愛情也需要建立婚姻契約以維持雙方的合作。（火車站的小販為什麼要騙人？為什麼工作中要形成小組制度？換防的時候一方總是要小小地進攻一下的，在中越前線就是這樣）第二、要增強識別對方行動的能力，如果不清楚對方是合作還是不合作，就沒法回報他了。第三、要維持聲譽，說要報復就一定要做到，人家才知道你是不好欺負的，才不敢不與你合作。第四、能夠分步完成的對局不要一次完成，以維持長久關系，比如，貿易、談判都要分步進行，以促使對方採取合作態度。第五、不要嫉妒人家的成功，"一報還一報"正是這樣的典範。第六、不要首先背叛，以免擔上罪魁禍首的道德壓力。第七、不僅對背叛要回報，對合作也要作出回報。第八、不要耍小聰明，占人家便宜。
（打橋牌和打麻將的區別）
艾克斯羅德在《合作的進化》一書結尾提出幾個結論。第一、友誼不是合作的必要條件，即使是敵人，只要滿足了關系持續，互相回報的條件，也有可能合作。比如，第一次世界大戰期間，德英兩軍在戰壕戰中遇上了三個月的雨季，雙方在這三個月中達成了默契，互相不攻擊對方的糧車給養，到大反攻時再你死我活地打。這個例子說明，友誼不是合作的前提。第二、預見性也不是合作的前提，艾氏舉出生物界低等動物、植物之間合作的例子來說明這一點。但是，當有預見性的人類了解了合作的規律之後，合作進化的過程就會加快。這時，預見性是有用的，學習也是有用的。
當游戲中考慮到隨機干擾，即對策者由於誤會而開始互相背叛的情形時，吳堅忠博士經研究發現，以修正的"一報還一報"，即以一定的概率不報復對方的背叛，和 "悔過的一報還一報"，即以一定的概率主動停止背叛。群體所有成員處理隨機環境的能力越強，"悔過的一報還一報"效果越好，"寬大的一報還一報"效果越差。
三、 艾克斯羅德的貢獻與局限性
艾克斯羅德通過數學化和計算機化的方法研究如何突破囚徒困境，達成合作，將這項研究帶到了一個全新境界，他在數學上的證明無疑是十分雄辯和令人信服的，而且，他在計算機模擬中得出的一些結論是非常驚人的發現，比如，總分最高的人在每次博弈中都沒有拿到最高分。（劉邦和項羽的戰爭）
艾氏所發現的"一報還一報"策略，從社會學的角度可以看作是一種"互惠式利他"，這種行為的動機是個人私利，但它的結果是雙方獲利，並通過互惠式利他有可能覆蓋了范圍最廣的社會生活，人們通過送禮及回報，形成了一種社會生活的秩序，這種秩序即使在多年隔絕，語言不通的人群之間也是最易理解的東西。比如，哥倫布登上美洲大陸時，與印地安人最初的交往就開始於互贈禮物。有些看似純粹的利他行為，比如無償損贈，也通過某些間接方式，比如社會聲譽的獲得，得到了回報。研究這種行為，將對我們理解社會生活有很重要的意義。
囚徒困境擴展為多人博弈時，就體現了一個更廣泛的問題——"社會悖論"，或"資源悖論"。人類共有的資源是有限的，當每個人都試圖從有限的資源中多拿一點兒時，就產生了局部利益與整體利益的沖突。人口問題、資源危機、交通阻塞，都可以在社會悖論中得以解釋，在這些問題中，關鍵是通過研究，制定游戲規則來控制每個人的行為。
艾克斯羅德的一些結論在中國古典文化道德傳統中可以很容易地找到對應，"投桃報李"、"人不犯我，我不犯人"都體現了"tit for tat"的思想。但這些東西並不是最優的，因為"一報還一報"在充滿了隨機性的現實社會生活里是有缺陷的。對此，孔子在幾千年前就說出了"以德報德，以直報怨"這樣精彩的修正策略，所謂"直"，就是公正，以公正來回報對方的背叛，是一種修正了的"一報還一報"，修正的是報復的程度，本來會讓你損失5分，現在只讓你損失3分，從而以一種公正審判來結束代代相續的報復，形成文明。
但是，艾氏對博弈者的一些假設和結論使其研究不可避免地與現實脫節。首先，《合作的進化》一書暗含著一個重要的假定，即，個體之間的博弈是完全無差異的。現實的博弈中，對策者之間絕對的平等是不可能達到的。一方面，對策者在實際的實力上有差異，雙方互相背叛時，可能不是各得1分，而是強者得5 分，弱者得0 分，這樣，弱者的報復就毫無意義。另一方面，即使對局雙方確實旗鼓相當，但某一方可能懷有賭徒心理，認定自己更強大，採取背叛的策略能佔便宜。艾氏的得分矩陣忽視了這種情形，而這種賭徒心理恰恰在社會上大量引發了零和博弈。因此，程序還可以在此基礎上進一步改進。
其次，艾氏認為合作不需預期和信任。這是他受到質疑頗多之處。對策者根據對方前面的戰術來制定自己下面的戰術，合作要求個體能夠識別那些曾經相遇過的個體並且記得與其相互作用的歷史，以便作出反應，這些都暗含著"預期"行為。在應付復雜的對策環境時，信任可能是對局雙方達成合作的必不可少的環節。但是，預期與信任如何在計算機的程序中體現出來，仍是需要研究的。
最後，重復博弈在現實中是很難完全實現的。一次性博弈的大量存在，引發了很多不合作的行為，而且，對策的一方在遭到對方背叛之後，往往沒有機會也沒有還手之力去進行報復。比如，資本積累階段的違約行為，國家之間的核威懾。在這些情況下，社會要使交易能夠進行，並且防止不合作行為，必須通過法制手段，以法律的懲罰代替個人之間的"一報還一報"，規范社會行為。這是艾克斯羅德的研究對制度學派的一個重要啟發。
3、請問在經濟學上如何用「囚徒模型」說明博弈論
一、 博弈中最優策略的產生
艾克斯羅德（Robert Axelrod）在開始研究合作之前，設定了兩個前提：一、每個人都是自私的；二、沒有權威干預個人決策。也就是說，個人可以完全按照自己利益最大化的企圖進行決策。在此前提下，合作要研究的問題是：第一、人為什麼要合作；第二、人什麼時候是合作的，什麼時候又是不合作的；第三、如何使別人與你合作。
社會實踐中有很多合作的問題。比如國家之間的關稅報復，對他國產品提高關稅有利於保護本國的經濟，但是國家之間互提關稅，產品價格就提高了，喪失了競爭力，損害了國際貿易的互補優勢。在對策中，由於雙方各自追求自己利益的最大化，導致了群體利益的損害。對策論以著名的囚犯困境來描述這個問題。
A和B各表示一個人，他們的選擇是完全無差異的。選擇C代表合作，選擇D代表不合作。如果AB都選擇C合作，則兩人各得3分；如果一方選C，一方選D，則選C的得零分，選D的得5分；如果AB都選D，雙方各得1分。
顯然，對群體來說最好的結果是雙方都選C，各得3分，共得6分。如果一方選C，一方選D，總體得5分。如果兩人都選D，總體得2分。
對策學界用這個矩陣來描述個體理性與群體理性的沖突：每個人在追求個體利益最大化時，就使群體利益受損，這就是囚徒困境。在矩陣中，對於A來說，當對方選C，他選D得5分，選C只得3分；當對方選D，他選D得1分，選C得零分。因此，無論對方選C或D，對A來說，選D都得分最多。這是A單方面的優超策略。而當兩個優超策略相遇，即A，B都選D時，結果是各得1分。這個結果在矩陣中並非最優。困境就在於，每個人採取各自的優超策略時，得出的解是穩定的，但不是帕累托最優的，這個結果體現了個體理性與群體理性的矛盾。在數學上，這個一次性決策的矩陣沒有最優解。
如果博弈進行多次，只要對策者知道博弈次數，他們在最後一次肯定採取互相背叛的策略。既然如此，前面的每一次也就沒有合作的必要，因此，在次數已知的多次博弈中，對策者沒有一次會合作。
如果博弈在多人間進行，而且次數未知，對策者就會意識到，當持續地採取合作並達成默契時，對策者就能持續地各得3分，但如果持續地不合作的話，每個人就永遠得1分。這樣，合作的動機就顯現出來。多次對局下，未來的收益應比現在的收益多一個折現率W，W越大，表示未來的收益越重要。在多人對策持續進行下去，且W比較大，即未來充分重要時，最優的策略是與別人採取的策略有關的。假設某人的策略是，第一次合作，以後只要對方不合作一次，他就永不合作。對這種對策者，當然合作下去是上策。假如有的人不管對方採取什麼策略，他總是合作，那麼總是對他採取不合作的策略得分最多。對於總是不合作的人，也只能採取不合作的策略。
艾克斯羅德做了一個實驗，邀請多人來參加游戲，得分規則與前面的矩陣相同，什麼時候結束游戲是未知的。他要求每個參賽者把追求得分最多的策略寫成計算機程序，然後用單循環賽的方式將參賽程序兩兩博弈，以找出什麼樣的策略得分最高。
第一輪游戲有14個程序參加，再加上艾克斯羅德自己的一個隨機程序(即以50%的概率選取合作或不合作)，運轉了300次。結果得分最高的程序是加拿大學者羅伯布寫的"一報還一報"(tit for tat)。這個程序的特點是，第一次對局採用合作的策略，以後每一步都跟隨對方上一步的策略，你上一次合作，我這一次就合作，你上一次不合作，我這一次就不合作。艾克斯羅德還發現，得分排在前面的程序有三個特點：第一，從不首先背叛，即"善良的"；第二，對於對方的背叛行為一定要報復，不能總是合作，即" 可激怒的"；第三，不能人家一次背叛，你就沒完沒了的報復，以後人家只要改為合作，你也要合作，即"寬容性"。
為了進一步驗證上述結論，艾氏決定邀請更多的人再做一次游戲，並把第一次的結果公開發表。第二次徵集到了62個程序，加上他自己的隨機程序，又進行了一次競賽。結果，第一名的仍是"一報還一報"。艾氏總結這次游戲的結論是：第一，"一報還一報"仍是最優策略。第二，前面提到的三個特點仍然有效，因為63人中的前15名里，只有第8名的哈靈頓程序是"不善良的"，後15名中，只有1個總是合作的是"善良的"。可激怒性和寬容性也得到了證明。此外，好的策略還必須具有的一個特點是"清晰性"，能讓對方在三、五步對局內辨識出來，太復雜的對策不見得好。"一報還一報"就有很好的清晰性，讓對方很快發現規律，從而不得不採取合作的態度。
二、 合作的進行過程及規律
"一報還一報"的策略在靜態的群體中得到了很好的分數，那麼，在一個動態的進化的群體中，這種合作者能否產生、發展、生存下去呢？群體是會向合作的方向進化，還是向不合作的方向進化？如果大家開始都不合作，能否在進化過程中產生合作？為了回答這些疑問，艾氏用生態學的原理來分析合作的進化過程。
假設對策者所組成的策略群體是一代一代進化下去的，進化的規則包括：一，試錯。人們在對待周圍環境時，起初不知道該怎麼做，於是就試試這個，試試那個，哪個結果好就照哪個去做。第二，遺傳。一個人如果合作性好，他的後代的合作基因就多。第三，學習。比賽過程就是對策者相互學習的過程，"一報還一報"的策略好，有的人就願意學。按這樣的思路，艾氏設計了一個實驗，假設63個對策者中，誰在第一輪中的得分高，他在第二輪的群體中所佔比例就越高，而且是他的得分的正函數。這樣，群體的結構就會在進化過程中改變，由此可以看出群體是向什麼方向進化的。
實驗結果很有趣。"一報還一報"原來在群體中佔1/63，經過1000代的進化，結構穩定下來時，它佔了24%。另外，有一些程序在進化過程中消失了。其中有一個值得研究的程序，即原來前15名中唯一的那個"不善良的"哈靈頓程序，它的對策方案是，首先合作，當發現對方一直在合作，它就突然來個不合作，如果對方立刻報復它，它就恢復合作，如果對方仍然合作，它就繼續背叛。這個程序一開始發展很快，但等到除了"一報還一報"之外的其它程序開始消失時，它就開始下降了。因此，以合作系數來測量，群體是越來越合作的。
進化實驗揭示了一個哲理：一個策略的成功應該以對方的成功為基礎。"一報還一報"在兩個人對策時，得分不可能超過對方，最多打個平手，但它的總分最高。它賴以生存的基礎是很牢固的，因為它讓對方得到了高分。哈靈頓程序就不是這樣，它得到高分時，對方必然得到低分。它的成功是建立在別人失敗的基礎上的，而失敗者總是要被淘汰的，當失敗者被淘汰之後，這個好占別人便宜的成功者也要被淘汰。
那麼，在一個極端自私者所組成的不合作者的群體中，"一報還一報"能否生存呢？艾氏發現，在得分矩陣和未來的折現系數一定的情況下，可以算出，只要群體的 5%或更多成員是"一報還一報"的，這些合作者就能生存，而且，只要他們的得分超過群體的總平均分，這個合作的群體就會越來越大，最後蔓延到整個群體。反之，無論不合作者在一個合作者佔多數的群體中有多大比例，不合作者都是不可能自下而上的。這就說明，社會向合作進化的棘輪是不可逆轉的，群體的合作性越來越大。艾克斯羅德正是以這樣一個鼓舞人心的結論，突破了"囚犯困境"的研究困境。
在研究中發現，合作的必要條件是：第一、關系要持續，一次性的或有限次的博弈中，對策者是沒有合作動機的；第二、對對方的行為要做出回報，一個永遠合作的對策者是不會有人跟他合作的。
那麼，如何提高合作性呢？首先，要建立持久的關系，即使是愛情也需要建立婚姻契約以維持雙方的合作。（火車站的小販為什麼要騙人？為什麼工作中要形成小組制度？換防的時候一方總是要小小地進攻一下的，在中越前線就是這樣）第二、要增強識別對方行動的能力，如果不清楚對方是合作還是不合作，就沒法回報他了。第三、要維持聲譽，說要報復就一定要做到，人家才知道你是不好欺負的，才不敢不與你合作。第四、能夠分步完成的對局不要一次完成，以維持長久關系，比如，貿易、談判都要分步進行，以促使對方採取合作態度。第五、不要嫉妒人家的成功，"一報還一報"正是這樣的典範。第六、不要首先背叛，以免擔上罪魁禍首的道德壓力。第七、不僅對背叛要回報，對合作也要作出回報。第八、不要耍小聰明，占人家便宜。
（打橋牌和打麻將的區別）
艾克斯羅德在《合作的進化》一書結尾提出幾個結論。第一、友誼不是合作的必要條件，即使是敵人，只要滿足了關系持續，互相回報的條件，也有可能合作。比如，第一次世界大戰期間，德英兩軍在戰壕戰中遇上了三個月的雨季，雙方在這三個月中達成了默契，互相不攻擊對方的糧車給養，到大反攻時再你死我活地打。這個例子說明，友誼不是合作的前提。第二、預見性也不是合作的前提，艾氏舉出生物界低等動物、植物之間合作的例子來說明這一點。但是，當有預見性的人類了解了合作的規律之後，合作進化的過程就會加快。這時，預見性是有用的，學習也是有用的。
當游戲中考慮到隨機干擾，即對策者由於誤會而開始互相背叛的情形時，吳堅忠博士經研究發現，以修正的"一報還一報"，即以一定的概率不報復對方的背叛，和 "悔過的一報還一報"，即以一定的概率主動停止背叛。群體所有成員處理隨機環境的能力越強，"悔過的一報還一報"效果越好，"寬大的一報還一報"效果越差。
三、 艾克斯羅德的貢獻與局限性
艾克斯羅德通過數學化和計算機化的方法研究如何突破囚徒困境，達成合作，將這項研究帶到了一個全新境界，他在數學上的證明無疑是十分雄辯和令人信服的，而且，他在計算機模擬中得出的一些結論是非常驚人的發現，比如，總分最高的人在每次博弈中都沒有拿到最高分。（劉邦和項羽的戰爭）
艾氏所發現的"一報還一報"策略，從社會學的角度可以看作是一種"互惠式利他"，這種行為的動機是個人私利，但它的結果是雙方獲利，並通過互惠式利他有可能覆蓋了范圍最廣的社會生活，人們通過送禮及回報，形成了一種社會生活的秩序，這種秩序即使在多年隔絕，語言不通的人群之間也是最易理解的東西。比如，哥倫布登上美洲大陸時，與印地安人最初的交往就開始於互贈禮物。有些看似純粹的利他行為，比如無償損贈，也通過某些間接方式，比如社會聲譽的獲得，得到了回報。研究這種行為，將對我們理解社會生活有很重要的意義。
囚徒困境擴展為多人博弈時，就體現了一個更廣泛的問題——"社會悖論"，或"資源悖論"。人類共有的資源是有限的，當每個人都試圖從有限的資源中多拿一點兒時，就產生了局部利益與整體利益的沖突。人口問題、資源危機、交通阻塞，都可以在社會悖論中得以解釋，在這些問題中，關鍵是通過研究，制定游戲規則來控制每個人的行為。
艾克斯羅德的一些結論在中國古典文化道德傳統中可以很容易地找到對應，"投桃報李"、"人不犯我，我不犯人"都體現了"tit for tat"的思想。但這些東西並不是最優的，因為"一報還一報"在充滿了隨機性的現實社會生活里是有缺陷的。對此，孔子在幾千年前就說出了"以德報德，以直報怨"這樣精彩的修正策略，所謂"直"，就是公正，以公正來回報對方的背叛，是一種修正了的"一報還一報"，修正的是報復的程度，本來會讓你損失5分，現在只讓你損失3分，從而以一種公正審判來結束代代相續的報復，形成文明。
但是，艾氏對博弈者的一些假設和結論使其研究不可避免地與現實脫節。首先，《合作的進化》一書暗含著一個重要的假定，即，個體之間的博弈是完全無差異的。現實的博弈中，對策者之間絕對的平等是不可能達到的。一方面，對策者在實際的實力上有差異，雙方互相背叛時，可能不是各得1分，而是強者得5分，弱者得0 分，這樣，弱者的報復就毫無意義。另一方面，即使對局雙方確實旗鼓相當，但某一方可能懷有賭徒心理，認定自己更強大，採取背叛的策略能佔便宜。艾氏的得分矩陣忽視了這種情形，而這種賭徒心理恰恰在社會上大量引發了零和博弈。因此，程序還可以在此基礎上進一步改進。
其次，艾氏認為合作不需預期和信任。這是他受到質疑頗多之處。對策者根據對方前面的戰術來制定自己下面的戰術，合作要求個體能夠識別那些曾經相遇過的個體並且記得與其相互作用的歷史，以便作出反應，這些都暗含著"預期"行為。在應付復雜的對策環境時，信任可能是對局雙方達成合作的必不可少的環節。但是，預期與信任如何在計算機的程序中體現出來，仍是需要研究的。
最後，重復博弈在現實中是很難完全實現的。一次性博弈的大量存在，引發了很多不合作的行為，而且，對策的一方在遭到對方背叛之後，往往沒有機會也沒有還手之力去進行報復。比如，資本積累階段的違約行為，國家之間的核威懾。在這些情況下，社會要使交易能夠進行，並且防止不合作行為，必須通過法制手段，以法律的懲罰代替個人之間的"一報還一報"，規范社會行為。這是艾克斯羅德的研究對制度學派的一個重要啟發。
4、什麼是博弈掄
囚犯的兩難處境
大理論中的小故事
要了解納什的貢獻，首先要知道什麼是非合作博弈問題。現在幾乎所有的博弈論教科書上都會講「囚犯的兩難處境」的例子，每本書上的例子都大同小異。
博弈論畢竟是數學，更確切地說是運籌學的一個分支，談經論道自然少不了數學語言，外行人看來只是一大堆數學公式。好在博弈論關心的是日常經濟生活問題，所以不能不食人間煙火。其實這一理論是從棋弈、撲克和戰爭等帶有競賽、對抗和決策性質的問題中借用的術語，聽上去有點玄奧，實際上卻具有重要現實意義。博弈論大師看經濟社會問題猶如棋局，常常寓深刻道理於游戲之中。所以，多從我們的日常生活中的凡人小事入手，以我們身邊的故事做例子，娓娓道來，並不乏味。話說有一天，一位富翁在家中被殺，財物被盜。警方在此案的偵破過程中，抓到兩個犯罪嫌疑人，斯卡爾菲絲和那庫爾斯，並從他們的住處搜出被害人家中丟失的財物。但是，他們矢口否認曾殺過人，辯稱是先發現富翁被殺，然後只是順手牽羊偷了點兒東西。於是警方將兩人隔離，分別關在不同的房間進行審訊。由地方檢察官分別和每個人單獨談話。檢察官說，「由於你們的偷盜罪已有確鑿的證據，所以可以判你們一年刑期。但是，我可以和你做個交易。如果你單獨坦白殺人的罪行，我只判你三個月的監禁，但你的同夥要被判十年刑。如果你拒不坦白，而被同夥檢舉，那麼你就將被判十年刑，他只判三個月的監禁。但是，如果你們兩人都坦白交代，那麼，你們都要被判5年刑。」斯卡爾菲絲和那庫爾斯該怎麼辦呢？他們面臨著兩難的選擇——坦白或抵賴。顯然最好的策略是雙方都抵賴，結果是大家都只被判一年。但是由於兩人處於隔離的情況下無法串供。所以，按照亞當•斯密的理論，每一個人都是從利己的目的出發，他們選擇坦白交代是最佳策略。因為坦白交代可以期望得到很短的監禁———3個月，但前提是同夥抵賴，顯然要比自己抵賴要坐10年牢好。這種策略是損人利己的策略。不僅如此，坦白還有更多的好處。如果對方坦白了而自己抵賴了，那自己就得坐10年牢。太不劃算了！因此，在這種情況下還是應該選擇坦白交代，即使兩人同時坦白，至多也只判5年，總比被判10年好吧。所以，兩人合理的選擇是坦白，原本對雙方都有利的策略(抵賴)和結局(被判1年刑)就不會出現。這樣兩人都選擇坦白的策略以及因此被判5年的結局被稱為「納什均衡」，也叫非合作均衡。因為，每一方在選擇策略時都沒有「共謀」(串供)，他們只是選擇對自己最有利的策略，而不考慮社會福利或任何其他對手的利益。也就是說，這種策略組合由所有局中人(也稱當事人、參與者)的最佳策略組合構成。沒有人會主動改變自己的策略以便使自己獲得更大利益。「囚徒的兩難選擇」有著廣泛而深刻的意義。個人理性與集體理性的沖突，各人追求利己行為而導致的最終結局是一個「納什均衡」，也是對所有人都不利的結局。他們兩人都是在坦白與抵賴策略上首先想到自己，這樣他們必然要服長的刑期。只有當他們都首先替對方著想時，或者相互合謀(串供)時，才可以得到最短時間的監禁的結果。「納什均衡」首先對亞當•斯密的「看不見的手」的原理提出挑戰。按照斯密的理論，在市場經濟中，每一個人都從利己的目的出發，而最終全社會達到利他的效果。不妨讓我們重溫一下這位經濟學聖人在《國富論》中的名言：「通過追求(個人的)自身利益，他常常會比其實際上想做的那樣更有效地促進社會利益。」從「納什均衡」我們引出了「看不見的手」的原理的一個悖論：從利己目的出發，結果損人不利己，既不利己也不利他。兩個囚徒的命運就是如此。從這個意義上說，「納什均衡」提出的悖論實際上動搖了西方經濟學的基石。因此，從「納什均衡」中我們還可以悟出一條真理：合作是有利的「利己策略」。但它必須符合以下黃金律：按照你願意別人對你的方式來對別人，但只有他們也按同樣方式行事才行。也就是中國人說的「己所不欲勿施於人」。但前提是人所不欲勿施於我。其次，「納什均衡」是一種非合作博弈均衡，在現實中非合作的情況要比合作情況普遍。所以「納什均衡」是對馮•諾依曼和摩根斯特恩的合作博弈理論的重大發展，甚至可以說是一場革命。
搜索：博弈論與納什平衡
博弈論（game theory）對人的基本假定是：人是理性的（rational，或者說自私的）,理性的人是指他在具體策略選擇時的目的是使自己的利益最大化，博弈論研究的是理性的人之間如何進行策略選擇的。
納什（John Nash）編制的博弈論經典故事"囚徒的困境"，說明了非合作博弈及其均衡解的成立，故稱"納什平衡"。
所有的博弈問題都會遇到三個要素。在囚徒的故事中，兩個囚徒是當事人(players)又稱參與者；當事人所做的選擇策略 (strategies)是承認了殺人事實，最後兩個人均贏得(payoffs)了中間的宣判結果。如果兩個囚徒之中有一個承認殺人，另外一個抵賴，不承認殺人，那麼承認者將會得到減刑處理，而抵賴者將會得到最嚴厲的死刑判決，在納什故事中兩個人都承認了犯罪事實，所以兩個囚徒得到的是中間的結果。
類似的： 我們也能從「自私的基因」等理論中看到「納什平衡」的體現。
在互聯網這個原始叢林中：最優策略是如何產生的呢？
一、 博弈中最優策略的產生
艾克斯羅德（Robert Axelrod）在開始研究合作之前，設定了兩個前提：一、每個人都是自私的；二、沒有權威干預個人決策。也就是說，個人可以完全按照自己利益最大化的企圖進行決策。在此前提下，合作要研究的問題是：第一、人為什麼要合作；第二、人什麼時候是合作的，什麼時候又是不合作的；第三、如何使別人與你合作。
社會實踐中有很多合作的問題。比如國家之間的關稅報復，對他國產品提高關稅有利於保護本國的經濟，但是國家之間互提關稅，產品價格就提高了，喪失了競爭力，損害了國際貿易的互補優勢。在對策中，由於雙方各自追求自己利益的最大化，導致了群體利益的損害。對策論以著名的囚犯困境來描述這個問題。
A和B各表示一個人，他們的選擇是完全無差異的。選擇C代表合作，選擇D代表不合作。如果AB都選擇C合作，則兩人各得3分；如果一方選C，一方選D，則選C的得零分，選D的得5分；如果AB都選D，雙方各得1分。
顯然，對群體來說最好的結果是雙方都選C，各得3分，共得6分。如果一方選C，一方選D，總體得5分。如果兩人都選D，總體得2分。
對策學界用這個矩陣來描述個體理性與群體理性的沖突：每個人在追求個體利益最大化時，就使群體利益受損，這就是囚徒困境。在矩陣中，對於A來說，當對方選C，他選D得5分，選C只得3分；當對方選D，他選D得1分，選C得零分。因此，無論對方選C或D，對A來說，選D都得分最多。這是A單方面的優超策略。而當兩個優超策略相遇，即A，B都選D時，結果是各得1分。這個結果在矩陣中並非最優。困境就在於，每個人採取各自的優超策略時，得出的解是穩定的，但不是帕累托最優的，這個結果體現了個體理性與群體理性的矛盾。在數學上，這個一次性決策的矩陣沒有最優解。
如果博弈進行多次，只要對策者知道博弈次數，他們在最後一次肯定採取互相背叛的策略。既然如此，前面的每一次也就沒有合作的必要，因此，在次數已知的多次博弈中，對策者沒有一次會合作。
如果博弈在多人間進行，而且次數未知，對策者就會意識到，當持續地採取合作並達成默契時，對策者就能持續地各得3分，但如果持續地不合作的話，每個人就永遠得1分。這樣，合作的動機就顯現出來。多次對局下，未來的收益應比現在的收益多一個折現率W，W越大，表示未來的收益越重要。在多人對策持續進行下去，且W比較大，即未來充分重要時，最優的策略是與別人採取的策略有關的。假設某人的策略是，第一次合作，以後只要對方不合作一次，他就永不合作。對這種對策者，當然合作下去是上策。假如有的人不管對方採取什麼策略，他總是合作，那麼總是對他採取不合作的策略得分最多。對於總是不合作的人，也只能採取不合作的策略。
艾克斯羅德做了一個實驗，邀請多人來參加游戲，得分規則與前面的矩陣相同，什麼時候結束游戲是未知的。他要求每個參賽者把追求得分最多的策略寫成計算機程序，然後用單循環賽的方式將參賽程序兩兩博弈，以找出什麼樣的策略得分最高。
第一輪游戲有14個程序參加，再加上艾克斯羅德自己的一個隨機程序(即以50%的概率選取合作或不合作)，運轉了300次。結果得分最高的程序是加拿大學者羅伯布寫的"一報還一報"(tit for tat)。這個程序的特點是，第一次對局採用合作的策略，以後每一步都跟隨對方上一步的策略，你上一次合作，我這一次就合作，你上一次不合作，我這一次就不合作。艾克斯羅德還發現，得分排在前面的程序有三個特點：第一，從不首先背叛，即"善良的"；第二，對於對方的背叛行為一定要報復，不能總是合作，即" 可激怒的"；第三，不能人家一次背叛，你就沒完沒了的報復，以後人家只要改為合作，你也要合作，即"寬容性"。
為了進一步驗證上述結論，艾氏決定邀請更多的人再做一次游戲，並把第一次的結果公開發表。第二次徵集到了62個程序，加上他自己的隨機程序，又進行了一次競賽。結果，第一名的仍是"一報還一報"。艾氏總結這次游戲的結論是：第一，"一報還一報"仍是最優策略。第二，前面提到的三個特點仍然有效，因為63人中的前15名里，只有第8名的哈靈頓程序是"不善良的"，後15名中，只有1個總是合作的是"善良的"。可激怒性和寬容性也得到了證明。此外，好的策略還必須具有的一個特點是"清晰性"，能讓對方在三、五步對局內辨識出來，太復雜的對策不見得好。"一報還一報"就有很好的清晰性，讓對方很快發現規律，從而不得不採取合作的態度。
二、 合作的進行過程及規律
"一報還一報"的策略在靜態的群體中得到了很好的分數，那麼，在一個動態的進化的群體中，這種合作者能否產生、發展、生存下去呢？群體是會向合作的方向進化，還是向不合作的方向進化？如果大家開始都不合作，能否在進化過程中產生合作？為了回答這些疑問，艾氏用生態學的原理來分析合作的進化過程。
假設對策者所組成的策略群體是一代一代進化下去的，進化的規則包括：一，試錯。人們在對待周圍環境時，起初不知道該怎麼做，於是就試試這個，試試那個，哪個結果好就照哪個去做。第二，遺傳。一個人如果合作性好，他的後代的合作基因就多。第三，學習。比賽過程就是對策者相互學習的過程，"一報還一報"的策略好，有的人就願意學。按這樣的思路，艾氏設計了一個實驗，假設63個對策者中，誰在第一輪中的得分高，他在第二輪的群體中所佔比例就越高，而且是他的得分的正函數。這樣，群體的結構就會在進化過程中改變，由此可以看出群體是向什麼方向進化的。
實驗結果很有趣。"一報還一報"原來在群體中佔1/63，經過1000代的進化，結構穩定下來時，它佔了24%。另外，有一些程序在進化過程中消失了。其中有一個值得研究的程序，即原來前15名中唯一的那個"不善良的"哈靈頓程序，它的對策方案是，首先合作，當發現對方一直在合作，它就突然來個不合作，如果對方立刻報復它，它就恢復合作，如果對方仍然合作，它就繼續背叛。這個程序一開始發展很快，但等到除了"一報還一報"之外的其它程序開始消失時，它就開始下降了。因此，以合作系數來測量，群體是越來越合作的。
進化實驗揭示了一個哲理：一個策略的成功應該以對方的成功為基礎。"一報還一報"在兩個人對策時，得分不可能超過對方，最多打個平手，但它的總分最高。它賴以生存的基礎是很牢固的，因為它讓對方得到了高分。哈靈頓程序就不是這樣，它得到高分時，對方必然得到低分。它的成功是建立在別人失敗的基礎上的，而失敗者總是要被淘汰的，當失敗者被淘汰之後，這個好占別人便宜的成功者也要被淘汰。
那麼，在一個極端自私者所組成的不合作者的群體中，"一報還一報"能否生存呢？艾氏發現，在得分矩陣和未來的折現系數一定的情況下，可以算出，只要群體的 5%或更多成員是"一報還一報"的，這些合作者就能生存，而且，只要他們的得分超過群體的總平均分，這個合作的群體就會越來越大，最後蔓延到整個群體。反之，無論不合作者在一個合作者佔多數的群體中有多大比例，不合作者都是不可能自下而上的。這就說明，社會向合作進化的棘輪是不可逆轉的，群體的合作性越來越大。艾克斯羅德正是以這樣一個鼓舞人心的結論，突破了"囚犯困境"的研究困境。
在研究中發現，合作的必要條件是：第一、關系要持續，一次性的或有限次的博弈中，對策者是沒有合作動機的；第二、對對方的行為要做出回報，一個永遠合作的對策者是不會有人跟他合作的。
那麼，如何提高合作性呢？首先，要建立持久的關系，即使是愛情也需要建立婚姻契約以維持雙方的合作。（火車站的小販為什麼要騙人？為什麼工作中要形成小組制度？換防的時候一方總是要小小地進攻一下的，在中越前線就是這樣）第二、要增強識別對方行動的能力，如果不清楚對方是合作還是不合作，就沒法回報他了。第三、要維持聲譽，說要報復就一定要做到，人家才知道你是不好欺負的，才不敢不與你合作。第四、能夠分步完成的對局不要一次完成，以維持長久關系，比如，貿易、談判都要分步進行，以促使對方採取合作態度。第五、不要嫉妒人家的成功，"一報還一報"正是這樣的典範。第六、不要首先背叛，以免擔上罪魁禍首的道德壓力。第七、不僅對背叛要回報，對合作也要作出回報。第八、不要耍小聰明，占人家便宜。
（打橋牌和打麻將的區別）
艾克斯羅德在《合作的進化》一書結尾提出幾個結論。第一、友誼不是合作的必要條件，即使是敵人，只要滿足了關系持續，互相回報的條件，也有可能合作。比如，第一次世界大戰期間，德英兩軍在戰壕戰中遇上了三個月的雨季，雙方在這三個月中達成了默契，互相不攻擊對方的糧車給養，到大反攻時再你死我活地打。這個例子說明，友誼不是合作的前提。第二、預見性也不是合作的前提，艾氏舉出生物界低等動物、植物之間合作的例子來說明這一點。但是，當有預見性的人類了解了合作的規律之後，合作進化的過程就會加快。這時，預見性是有用的，學習也是有用的。
當游戲中考慮到隨機干擾，即對策者由於誤會而開始互相背叛的情形時，吳堅忠博士經研究發現，以修正的"一報還一報"，即以一定的概率不報復對方的背叛，和 "悔過的一報還一報"，即以一定的概率主動停止背叛。群體所有成員處理隨機環境的能力越強，"悔過的一報還一報"效果越好，"寬大的一報還一報"效果越差。
三、 艾克斯羅德的貢獻與局限性
艾克斯羅德通過數學化和計算機化的方法研究如何突破囚徒困境，達成合作，將這項研究帶到了一個全新境界，他在數學上的證明無疑是十分雄辯和令人信服的，而且，他在計算機模擬中得出的一些結論是非常驚人的發現，比如，總分最高的人在每次博弈中都沒有拿到最高分。（劉邦和項羽的戰爭）
艾氏所發現的"一報還一報"策略，從社會學的角度可以看作是一種"互惠式利他"，這種行為的動機是個人私利，但它的結果是雙方獲利，並通過互惠式利他有可能覆蓋了范圍最廣的社會生活，人們通過送禮及回報，形成了一種社會生活的秩序，這種秩序即使在多年隔絕，語言不通的人群之間也是最易理解的東西。比如，哥倫布登上美洲大陸時，與印地安人最初的交往就開始於互贈禮物。有些看似純粹的利他行為，比如無償損贈，也通過某些間接方式，比如社會聲譽的獲得，得到了回報。研究這種行為，將對我們理解社會生活有很重要的意義。
囚徒困境擴展為多人博弈時，就體現了一個更廣泛的問題——"社會悖論"，或"資源悖論"。人類共有的資源是有限的，當每個人都試圖從有限的資源中多拿一點兒時，就產生了局部利益與整體利益的沖突。人口問題、資源危機、交通阻塞，都可以在社會悖論中得以解釋，在這些問題中，關鍵是通過研究，制定游戲規則來控制每個人的行為。
艾克斯羅德的一些結論在中國古典文化道德傳統中可以很容易地找到對應，"投桃報李"、"人不犯我，我不犯人"都體現了"tit for tat"的思想。但這些東西並不是最優的，因為"一報還一報"在充滿了隨機性的現實社會生活里是有缺陷的。對此，孔子在幾千年前就說出了"以德報德，以直報怨"這樣精彩的修正策略，所謂"直"，就是公正，以公正來回報對方的背叛，是一種修正了的"一報還一報"，修正的是報復的程度，本來會讓你損失5分，現在只讓你損失3分，從而以一種公正審判來結束代代相續的報復，形成文明。
但是，艾氏對博弈者的一些假設和結論使其研究不可避免地與現實脫節。首先，《合作的進化》一書暗含著一個重要的假定，即，個體之間的博弈是完全無差異的。現實的博弈中，對策者之間絕對的平等是不可能達到的。一方面，對策者在實際的實力上有差異，雙方互相背叛時，可能不是各得1分，而是強者得5分，弱者得0 分，這樣，弱者的報復就毫無意義。另一方面，即使對局雙方確實旗鼓相當，但某一方可能懷有賭徒心理，認定自己更強大，採取背叛的策略能佔便宜。艾氏的得分矩陣忽視了這種情形，而這種賭徒心理恰恰在社會上大量引發了零和博弈。因此，程序還可以在此基礎上進一步改進。
其次，艾氏認為合作不需預期和信任。這是他受到質疑頗多之處。對策者根據對方前面的戰術來制定自己下面的戰術，合作要求個體能夠識別那些曾經相遇過的個體並且記得與其相互作用的歷史，以便作出反應，這些都暗含著"預期"行為。在應付復雜的對策環境時，信任可能是對局雙方達成合作的必不可少的環節。但是，預期與信任如何在計算機的程序中體現出來，仍是需要研究的。
最後，重復博弈在現實中是很難完全實現的。一次性博弈的大量存在，引發了很多不合作的行為，而且，對策的一方在遭到對方背叛之後，往往沒有機會也沒有還手之力去進行報復。比如，資本積累階段的違約行為，國家之間的核威懾。在這些情況下，社會要使交易能夠進行，並且防止不合作行為，必須通過法制手段，以法律的懲罰代替個人之間的"一報還一報"，規范社會行為。這是艾克斯羅德的研究對制度學派的一個重要啟發。